Modul (matematik)

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-06) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En modul är inom ringteorin motsvarigheten till ett vektorrum i linjär algebra, och elementen i en modul motsvarar på samma sätt vektorer. Varje modul är en modul över någon unitär ring, ringen av "skalärer" till modulen. Två element i modulen kan adderas, och en skalär och ett modulelement kan multipliceras. I båda fallen är resultatet av operationen ett element i modulen. Denna addition och multiplikation uppfyller precis samma åtta grundläggande räknelagar som vektoradditionen och multiplikationen av skalärer och vektorer uppfyller i den linjära algebran.

Om ringen av skalärer inte är kommutativ, behöver man skilja på multiplikation med skalär från vänster (vänstermodul), höger (högermodul) eller bådadera (bimodul). Många moduler har speciella egenskaper som gör dem särskilt intressanta i vissa situationer; exempelvis fria moduler, ändligtgenererade moduler, enkla moduler och (över nolldelarfria ringar) torsionsmoduler; se nedan. Alla moduler delar dock många egenskaper, vilket möjliggör en "modulteori" som täcker upp alla slags moduler på en gång. Alla (t. ex. vänster-)moduler över en given ring A bildar en kategori, som utgör ett centralt verktyg för att studera ringen.

Eftersom villkoren på ett vektorrum är desamma som de på en modul, utom att skalärerna för ett vektorrum också skall utgöra en kropp, utgör vektorrum ett specialfall av moduler. Två andra viktiga specialfall är utgörs av abelska grupper, som precis är modulerna över ringen Z av hela tal, och idealen i en ring, som precis är delmodulerna till ringen uppfattad som modul över sig själv. Modulteorin generaliserar därför många egenskaper som är gemensamma för den linjära algebran, teorin för abelska grupper, och idealteorin.