Ordinaltal

Den här artikeln handlar om det matematiska begreppet. För typen av räkneord, se räkneord

Ordinaltal är en typ av "tal" som mäter längden på välordningar och därmed är en generalisering av de naturliga talen.^[1] En del kallar dem mängdteorins ryggrad eftersom de är grundläggande inom mängdteorin. De används bland annat inom topologi, för att konstruera illustrativa exempel och motexempel på topologiska egenskaper. Om man accepterar urvalsaxiomet, så kan man identifiera kardinaltalen med en äkta delklass av ordinaltalen.

När man reducerar de naturliga talen till mängder säger man att talet noll är den tomma mängden. Alla andra naturliga tal fås sedan genom att tillämpa successorfunktionen ${\displaystyle a\mapsto a\cup \{a\}}$ på föregående tal. Om denna procedur upprepas uppräkneligt oändligt många gånger har vi fått alla naturliga tal. Enligt infinitetsaxiomet kan vi fortsätta på samma sätt även med oändliga mängder, genom att bilda successorn av dessa. Då får vi alla oändliga ordinaltal. Det minsta oändliga ordinaltalet är ω. Successorn till detta är ω+1. Sedan följer ω+2, ω+3, ω+4 osv i all oändlighet. Det finns ingen som helst gräns för hur stora ordinaltalen kan bli.