Produktregeln

Produktregeln används inom matematisk analys för att finna derivatan av produkten av två eller flera funktioner. För två funktioner kan regeln formuleras som^[1]

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}$

eller med Leibniz notation

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}}$

Med differentialnotation, kan detta skrivas som

${\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du}$

Med Leibniz notation, är derivatian av tre funktioner

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}}$

vilket kan generaliseras till k funktioner ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right)}$