Impulsoperator

Der Impulsoperator ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ist in der Quantenmechanik der Operator zur Impulsmessung von Teilchen. In der Ortsdarstellung ist der Impulsoperator in einer Dimension gegeben durch:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\mathrm {\hbar } }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}}$

Dabei bezeichnet

• ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die Imaginäre Einheit
• ${\displaystyle \hbar }$ die reduzierte Planck-Konstante und
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}}$ die partielle Ableitung in Richtung der Ortskoordinate ${\displaystyle x}$.

Mit dem Nabla-Operator ${\displaystyle \nabla }$ erhält man in drei Dimensionen den Vektor:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-\mathrm {i} \hbar \nabla }$

Der physikalische Zustand ${\displaystyle \Psi \,}$ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ dargestellt. Speziell ist der Impuls-Operator die Zusammenfassung der drei Observablen ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=({\hat {p}}_{1},{\hat {p}}_{2},{\hat {p}}_{3})}$, so dass

${\displaystyle E({\hat {p}}_{j})=\langle \Psi |{\hat {p}}_{j}\,|\Psi \rangle \,\quad j=1,2,3}$

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Komponente des Impulses des Teilchens im Zustand ${\displaystyle \Psi }$ ist.