Kreuzkorrelation

In der Signalanalyse wird die Kreuzkorrelationsfunktion ${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$ zur Beschreibung der Korrelation zweier Signale ${\displaystyle x(t)}$ und ${\displaystyle y(t)}$ bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen ${\displaystyle \tau }$ zwischen den beiden Signalen eingesetzt. Kreuz steht hierbei für den Fall ${\displaystyle x\neq y}$ der Funktion:

${\displaystyle R_{xy}(t_{1},t_{2})=E[{\textbf {X}}(t_{1})\cdot {\textbf {Y}}(t_{2})],}$

wobei E der Erwartungswert ist.

Handelt es sich um einen schwach stationären Prozess, so ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Wahl der Zeitpunkte ${\displaystyle t_{1}}$ und ${\displaystyle t_{2}}$, sondern nur von deren Differenz ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$ abhängig.

Die Kreuzkorrelations-Operation ist identisch mit der komplex konjugierten Faltung ${\displaystyle {\overline {f(-t)}}}$. Insbesondere im Fachgebiet Maschinelles Lernen, wo man mit Convolutional Neural Networks arbeitet, wird aufgrund dieser Identität meistens die Kreuzkorrelation verwendet, diese aber als Faltung bezeichnet, weil sie leichter zu implementieren ist.^[1][2]

1. ↑ Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, Aaron Courville: Deep Learning. Hrsg.: MIT Press. S. 328–329 (deeplearningbook.org). 
2. ↑ Conv2d. In: Dokumentation PyTorch. Abgerufen am 5. Februar 2021.